ホモトピー型理論
[002J] 補題

\(i\)を階数、\(A:\mathcal {U}(i)\)を型とする。関数\(\lambda z.\mathord {\textnormal {\textsf {proj}}}_{1}(z):(\sum _{x_{1},x_{2}:A}x_{1}=x_{2})\to A\)は同値である。

証明

任意の要素\(a:A\)に対して、レトラクトの列

\(\mathord {\textnormal {\textsf {Fiber}}}(\lambda z.\mathord {\textnormal {\textsf {proj}}}_{1}(z),a)\)\(\triangleleft \) {並び換え}\(\sum _{x_{1}:A}\sum _{p:x_{1}=a}\sum _{x_{2}:A}x_{1}=x_{2}\)\(\triangleleft \) {[0026]}\(\sum _{x_{2}:A}a=x_{2}\)
を得て、最後の型は[001N]により可縮である。