2から1は自明である。

1から2を示す。各$x:C$に対して、射$s(x),u(x):\mathord {\textnormal {\textsf {Map}}}(G(x),F(x))$と同一視$p(x):s(x)\circ t(x)=\mathord {\textnormal {\textsf {id}}}$と$q(x):t(x)\circ u(x)=\mathord {\textnormal {\textsf {id}}}$を得る。[0068]より、$s$と$u$の自然性を確認すれば十分である。$x_{1},x_{2}:C$を対象、$f:\mathord {\textnormal {\textsf {Map}}}(x_{1},x_{2})$を射とする。$F(f)\circ s(x_{1})=s(x_{2})\circ G(f)$を言うには、[005G]より$F(f)\circ s(x_{1})\circ t(x_{1})=s(x_{2})\circ G(f)\circ t(x_{1})$を示せば十分で、これは次のように分かる。

$F(f)\circ s(x_{1})\circ t(x_{1})$$=$ {$p(x_{1})$}$F(f)$$=$ {${(p(x_{2}))}^{-1}$}$s(x_{2})\circ t(x_{2})\circ F(f)$$=$ {$t$の自然性}$s(x_{2})\circ G(f)\circ t(x_{1})$ $u$の自然性も同様である。