\(i\)を階数、\(C:\mathord {\textnormal {\textsf {PreCat}}}(i)\)を前圏とする。

1. 1前層\(A:\mathord {\textnormal {\textsf {Psh}}}(C)\)に対して、前層の射\(\mathord {\textnormal {\textsf {id}}}\lbrace A\rbrace :\mathord {\textnormal {\textsf {Hom}}}(A,A)\)を\(\lambda x.\mathord {\textnormal {\textsf {id}}}\lbrace A(x)\rbrace \)と定義する。これが前層の射の公理を満たすことを確かめよ。
2. 2前層\(A_{1},A_{2},A_{3}:\mathord {\textnormal {\textsf {Psh}}}(C)\)と前層の射\(f_{1}:\mathord {\textnormal {\textsf {Hom}}}(A_{1},A_{2})\)と\(f_{2}:\mathord {\textnormal {\textsf {Hom}}}(A_{2},A_{3})\)に対して、前層の射\(f_{2}\circ f_{1}:\mathord {\textnormal {\textsf {Hom}}}(A_{1},A_{3})\)を\(\lambda x.f_{2}\lbrace x\rbrace \circ f_{1}\lbrace x\rbrace \)と定義する。これが前層の射の公理を満たすことを確かめよ。